3.9 Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable:

Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.


Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.


Discontinuidad No evitable:

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:Discontinuidad de primera especie: si los límites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge.Discontinuidad de segunda especie: si la función, al menos en uno de los lados del punto, no existe o no tiene limite.



Discontinuidad de primera especie
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
De salto finito
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:


Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.





De salto infinito


Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:


Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:


A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.



Véase también:
http://www.sangakoo.com/es/temas/discontinuidad-de-funciones-evitable-inevitable-o-de-salto-finito-y-esencial

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y un intervalo

Función continua:

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x₀.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

Función discontinua:

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en elmismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.

Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:* Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que nopertenecen al dominio de la función, gráfica a.* Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b.1) Si el límite no existe o es infinito entonces la función es discontinuaSi el límite existe hay que compararlo con el valor asignado a la función en esepunto.