Unidad 3: Limites y continuidad: 2014

lunes, 1 de diciembre de 2014

3.9 Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable:

Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.

Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.

Discontinuidad No evitable:

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:Discontinuidad de primera especie: si los límites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge.Discontinuidad de segunda especie: si la función, al menos en uno de los lados del punto, no existe o no tiene limite.

Discontinuidad de primera especie
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
De salto finito
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.

De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

Véase también:
http://www.sangakoo.com/es/temas/discontinuidad-de-funciones-evitable-inevitable-o-de-salto-finito-y-esencial

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y un intervalo

Función continua:

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x₀.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.

Función discontinua:

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en elmismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.

Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:* Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que nopertenecen al dominio de la función, gráfica a.* Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b.1) Si el límite no existe o es infinito entonces la función es discontinuaSi el límite existe hay que compararlo con el valor asignado a la función en esepunto.

domingo, 30 de noviembre de 2014

3.7 Asintotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

3.6 Limites infinitos y hasta infinitos

El símbolo $\infty$ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente

está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe $x\rightarrow +\infty$ (que se lee:

tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como $x\rightarrow -\infty$ (que se lee:

tiende a menos infinito). Similarmente, cuando

crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe $f(x)\rightarrow +\infty$ , y si decrece tomando valores negativos escribimos $f(x)\rightarrow -\infty$ . Consideramos la función

definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x-2}}$ para $x\in I\!\!R-\{2\}$ . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando $x\rightarrow 2$ cuando $x\rightarrow +\infty$ y cuando $x\rightarrow -\infty$ . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

En este caso, cuando $x\rightarrow 2^{+},\;(x\rightarrow 2,\;x>2)$ , la función

tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como $f(x)\rightarrow +\infty\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow 2^{+}$ , es decir $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=+\infty}$

Ahora, cuando

toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, $f(x)\rightarrow -\infty$ cuando $x\rightarrow 2^{-}$ , o sea $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=-\infty}$ .

Ahora observe que es

la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que

tiende a valores cercanos a cero. Así $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=0}$ , o sea, $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow +\infty$ .

: En forma similar a la tabla anterior se tiene que $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow -\infty$ es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}=0}$

3.5 Limites laterales

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

x ® a^- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

x ® a⁺ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Limites laterales por la izquierda

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a - d < x < a Þ

Limites laterales por la derecha

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a < x < a + d Þ

Véase también:

http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20L%EDmiteslaterales.htm