Unidad 3: Limites y continuidad: noviembre 2014

3.7 Asintotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

3.6 Limites infinitos y hasta infinitos

El símbolo $\infty$ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente

está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe $x\rightarrow +\infty$ (que se lee:

tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como $x\rightarrow -\infty$ (que se lee:

tiende a menos infinito). Similarmente, cuando

crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe $f(x)\rightarrow +\infty$ , y si decrece tomando valores negativos escribimos $f(x)\rightarrow -\infty$ . Consideramos la función

definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x-2}}$ para $x\in I\!\!R-\{2\}$ . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando $x\rightarrow 2$ cuando $x\rightarrow +\infty$ y cuando $x\rightarrow -\infty$ . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

En este caso, cuando $x\rightarrow 2^{+},\;(x\rightarrow 2,\;x>2)$ , la función

tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como $f(x)\rightarrow +\infty\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow 2^{+}$ , es decir $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=+\infty}$

Ahora, cuando

toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, $f(x)\rightarrow -\infty$ cuando $x\rightarrow 2^{-}$ , o sea $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=-\infty}$ .

Ahora observe que es

la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que

tiende a valores cercanos a cero. Así $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=0}$ , o sea, $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow +\infty$ .

: En forma similar a la tabla anterior se tiene que $f(x)\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow -\infty$ es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-\infty}}{f(x)}=0}$

3.5 Limites laterales

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

x ® a^- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

x ® a⁺ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Limites laterales por la izquierda

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a - d < x < a Þ

Limites laterales por la derecha

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a < x < a + d Þ

Véase también:

http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20L%EDmiteslaterales.htm

3.4 Propiedades de los limites.

Primera propiedad
La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los
límites.
Segunda propiedad
La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia
de los límites.
Tercera propiedad
El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de
los límites.
Cuarta propiedad
Si una sucesión (an) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también
Quinta propiedad
Sean (an) y (bn) dos sucesiones convergentes que tienen por limites L1 y L2.

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Véase también:

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n#Propiedades_de_los_l.C3.ADmites

3.3 Cálculo de limites

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que: